ИССЛЕДОВАНИЕ 2D ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ НА КОМПЬЮТЕРЕ: ЧТО НЕОБХОДИМО ДЛЯ СОСТАВЛЕНИЯ АЛГОРИТМА?

  • Сергей Владимирович Талалов Тольяттинский государственный университет
Ключевые слова: волновое уравнение, метод разделения переменных, частные решения, алгоритм, спектральная задача

Аннотация

Рассматриваются методические вопросы, связанные с особенностями преподавания темы «Гиперболические уравнения» в курсе уравнений математической физики на «компьютерных» направлениях подготовки, таких как «Прикладная математика» и «Прикладная математика и информатика». Данный раздел теории дифференциальных уравнений необходим также в таких курсах, как «Непрерывные математические модели», «Математическое моделирование» и других, аналогичных, являющихся составной частью учебных планов подготовки бакалавров и магистров указанных направлений. На примере однородного волнового уравнения с одной пространственной переменной и с произвольными граничными условиями третьего рода демонстрируется единство аналитических и численных методов исследования. Так, рассматривается задача о нахождении частных решений такого уравнения, удовлетворяющих указанным граничным условиям с произвольными, вообще говоря, коэффициентами. Поскольку такая задача явно не решается, необходимо написание программы для численного определения спектральных чисел – собственных чисел ассоциированной задачи Штурма – Лиувилля на отрезке. Показывается, что для оптимального составления программного кода необходимо знание разных разделов математики. Обсуждаются ситуации, которые могут привести к неадекватной работе программы, что является мотивирующим фактором для изучения соответствующих математических разделов. Делается вывод о необходимости использования результатов аналитического исследования уравнения для составления алгоритма компьютерной программы. Подчеркивается, что в отсутствие такого анализа, во-первых, программа может привести к неверному ответу, во-вторых, ответ может быть неполный (не все значения найдены), и, в-третьих, программа может работать в неоптимальном и не экономящем ресурсы режиме.

Биография автора

Сергей Владимирович Талалов, Тольяттинский государственный университет

доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладная математика и информатика»

Литература

Пунтус А.А. Проблемы постановки и преподавания математических дисциплин в высшей школе // Математическое образование. 2010. № 2. С. 61–69.

Jaun A., Heidin J., Johnson T. Numerical methods for the partial differential equations. Stochholm: Royal Inst. of Technology, 1999. 81 p.

Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином, 2008. 636 с.

Stoer J., Bulirsch R. Introduction to Numerical analysis. New York: Springer-Verlag, 1993. 660 p.

Коткин Г.Л., Черкасский В.С. Компьютерное моделирование физических процессов с использованием MATLAB. Новосибирск: Новосибирский ун-т, 2001. 173 с.

Прохоров Г.В., Леденев М.А., Колбеев В.В. Пакет символьных вычислений MAPLE V. М.: Петит, 2001. 200 с.

Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.: ОГИЗ, 1947. 385 с.

Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: Ижевская респ. типография, 2000. 400 с.

Ашихмин В.Н., Гитман М.Б., Келлер И.Э., Наймарк О.Б., Столбов В.Ю., Трусов П.В. Введение в математическое моделирование. М.: Логос, 2004. 440 с.

Земляков А.Н. Элективный курс «Математический анализ реальности». Дифференциальные уравнения как математические модели реальных процессов. Глава 1 // Математическое образование. 2004. № 4. С. 19–55.

Земляков А.Н. Элективный курс «Математический анализ реальности». Дифференциальные уравнения как математические модели реальных процессов. Глава 2 // Математическое образование. 2005. № 1. С. 9–65.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 638 с.

Talalov S.V. The Poisson structure of a 4D spinning string // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1999. Vol. 32. № 5. P. 845–857.

Talalov S.V. The System of Interacting Anyons: A Visual Model Inspired by String Theory // Progress in String Theory Research. New York: Nova Science Publishers, 2016. P. 53–88.

Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.

Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 512 с.

Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: МГУ, 1993. 416 с.

Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980. 454 с.

Березин В.Л., Харитонова К.Ю. Просмотрщик решений трансцендентных уравнений и его применение в задачах волоконной оптики // Математика. Механика. 2004. № 6. С. 168–170.

Фильчаков П.Ф. Численные и графические методы прикладной математики. Киев: Наукова думка, 1970. 800 с.

Волков Е.А. Методы решения нелинейных уравнений и систем. 2-е изд., испр. М.: Наука, 1987. 248 с.

Опубликован
2018-09-26
Выпуск
Раздел
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ